Unterwegs in Dunland

Aus dem Tagebuch des Waldläufers Aravorn Leisetreter:

„Aus meiner Deckung heraus konnte ich die Begrüßungszeremonie der Dunländer beobachten. Jeweils zwei der Eingeborenen schlugen zunächst ihre Köpfe fest gegeneinander, wobei ein lautes „Knack“ zu hören war. Da diese Prozedur offenbar nicht ganz schmerzfrei ablief, ließ jeder der beiden danach ein kräftiges „Auuuuoi“ ertönen, ehe er sich dem nächsten Dunländer zuwandte. Nachdem jeder jeden begrüßt hatte, hatte ich erstaunliche 7140 Schreie gezählt.“

a) Wie viele Dunländer hat der gute Aravorn beobachtet?

 „Kurze Zeit später geriet ich in Gefangenschaft und musste, um meine Freilassung zu erkaufen, den nicht besonders klugen Dunländern bei der Lösung mathematischer Probleme helfen. Zunächst einmal musste ich in finsterster Mitternacht eine schwierige Gleichung lösen, um die Geister der Ahnen zu besänftigen.“

b) Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung: \( 2x^2-\sqrt{32} x=\sqrt{25}\)

 „Nach dieser brillanten Leistung wurden die Eingeborenen misstrauisch. So musste ich die nächste Gleichung in gleißender Mittagssonne bearbeiten, ohne die tröstende Dunkelheit um mich.“

c) Bestimme die Lösungsmenge ohne Benutzung der Mitternachtsformel: \(x^2-4,5x-9=0\)

 „Danach trennte mich von der Freiheit nur noch die Lösung einer kleinen Knobelaufgabe.“

d) Gegeben ist die rein quadratische Gleichung \(ax^2=1\) mit \(a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Für welche Werte von a besitzt die Gleichung genau 2 Lösungen, genau 1 Lösung bzw. keine Lösung?

„Leider hatte ich mich inzwischen in die wunderschöne Häuptlingstochter Leanan verliebt. Um ihr Herz zu gewinnen, musste ich ihr ein wenig erläutern, wie ähnlich sich manche Dinge doch sind (z.B. Dunländerfrauen und Waldläufer wie ich).

e) In den Dreiecken ABC und RST gelten folgende Beziehungen:

\[\beta=\gamma\qquad\rho=\sigma\qquad\alpha=\tau\]

Untersuche, ob man daraus auf die Ähnlichkeit der Dreiecke schließen kann. Gib eine kurze Begründung und ggf. den verwendeten Ähnlichkeitssatz an!

”Es war wirklich eine tolle Hochzeit. Alles andere geht nur noch Leanan und mich an …”