Auf dem Weg durch den gefährlichen Düsterwald wurde der Hobbit Bilbo Beutlin von seinen zwergischen Gefährten getrennt. Gegen zwei Uhr nachts werden die halb verhungerten und in der Finsternis völlig hilflosen Zwerge von Riesenspinnen gefangen, die sie einspinnen und zusätzlich mit Gift lähmen.
Die Konzentration (in mg/l) des Spinnengiftes im Blut eines durchschnittlichen Zwerges ab dem Zeitpunkt t = 0 (t in Stunden) lässt sich durch die Funktion \(K(t)=t\cdot e^{3-t}\) beschreiben.
Liegt die Konzentration über 1,0 mg/l, ist das Opfer praktisch bewusstlos. Unterhalb dieses Wertes kommen die Körperfunktionen langsam wieder in Gang, und ab etwa 0,5 mg/l ist koordiniertes Handeln, z.B. Laufen, wieder möglich.
- Geben Sie die Nullstelle von K an, untersuchen Sie das Verhalten von K für \(t\to\infty\) und erläutern Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
- Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunktes von K und geben Sie die maximale Konzentration des Giftes an. Wie viel mg Gift müssen einem Zwerg (5 l Blut) injiziert worden sein, um diese Konzentration zu erreichen?
[Zur Kontrolle: \(K´(t)=(1-t)\cdot e^{3-t}\)] - Berechnen Sie K(0,5) und K(3) und skizzieren Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen \(G_K\) für \(t\ge 0\) in ein Koordinatensystem.
- Als Bilbo seine Freunde wiederfindet, erwachen sie gerade aus der Bewusstlosigkeit. Mit Hilfe seines Elbendolches Stich schneidet er sie so schnell es geht aus den Spinnenfäden. Schätzen Sie mit Hilfe ihres Graphen nachvollziehbar ab,
- um welche Uhrzeit Bilbo die Zwerge wiederfindet.
- wie lange Bilbo ab diesem Zeitpunkt (mit Hilfe eines unsichtbar machendes Zauberringes und einer gehörigen Portion Mut) die Spinnen ablenken muss, damit die Zwerge im Stande sind, wegzulaufen.